Давид Гильберт

Давид Гильберт був одним з істинно великих математиків свого часу. Його праці і його надихаюча особистість ученого вплинули на розвиток математичних наук у першій половині двадцятого століття. Давид Гильберт був універсальним математиком, широта його наукових досліджень вражає: теорія інваріантів, теорія алгебраїчних числових полів, підстави геометрії й математики в цілому, інтегральні рівняння, фізика. Але та роль, що зіграв Гильберт у розвитку математики полягає навіть не в його працях, а в тім впливі, що він робив на своїх сучасників, у тій математичній школі, що він створив. Роботи багатьох математиків аж до нашого часу несуть відбиток його мислення, у всіх математичних досягненнях нашого часу є чимала заслуга Давида Гильберта

Дитинство і юність

Давид Гильберт народився 23 січня 1862 року рівно о першій годині дня в містечку Велау поблизу Кенігсберга. Автобіографія й сімейна хроніка, залишені засновником кенигсбергской галузі сім’ї Гильбертов, знайомлять нас із родоводу Давида по батьківській лінії. Уже в сімнадцятому столітті Гильберти були відомі в Саксонії. На початку вісімнадцятого сторіччя хтось Иоганн Християн Гильберт, почавши з медика, став процвітаючим оптовим торговцем мереживами. До нещастя, він умер, залишивши своїх дітей зовсім маленькими, а його спадщина була прогайнована опікунами. Нестаток змусив його сина Християна Давида Гильберта піти в учні до цирюльнику. Служба військовим цирюльником закинула його в Кенігсберг. Один із численних дітей Християна Давида – Давид Фюрхтготт Леберехт був дідом Давида. Він був суддею. Його син Отто займав до моменту народження Давида посада окружного судді

Небагато відомо про родовід Давида по материнській лінії. Карл ердтман був купцем з Кенігсберга, його дочка Марія Тереза стала матір’ю Давида. Це була надзвичайна жінка – «оригінал» у німецькому розумінні цього слова. Вона цікавилася філософією, астрономією й була зачарована простими числами

Завдяки батькові раннє навчання Давида мало відбиток прусских чорт пунктуальності, ощадливості, відданості боргу, ретельності, дисципліни й поваги до закону. Посада судді в Пруссії дісталася просуванням по цивільній службі. Це була зручна й надійна кар’єра для консервативної людини. По оповіданнях, суддя Гильберт був досить обмеженою людиною, зі строгими поглядами на добропорядне поводження

Давид почав ходити в школу з восьми років. Звичайним віком для надходження в школу було шість років, і запізнення на два роки вказує, що, очевидно, перші уроки Давид одержав будинку, швидше за все від своєї матері. Вона була вже майже інвалідом і, як говорять, більшу частину часу проводила в постелі

У підготовчій школі королівського Фридрихс колега Давид одержав перші уроки, необхідні для гуманітарної гімназії. У неї він повинен був надійти, якби побажав одержати спеціальність, духовний сан або стать університетським професором. Ці уроки включали читання й лист на латинському й грецькому алфавітах, правопис, частини мови, аналіз простих речень, важливі біблійні історії й проста арифметика, що включала додавання, вирахування, множення й розподіл невеликих чисел

Згадувань про те, що в цей час на кого-небудь зробили враження здатності Гильберта немає. Пізніше він згадував себе як тупого й дурного замолоду. Напевно, це було перебільшенням, тому що, як пізніше помітив один з його друзів “за всім, що не говорив Гильберт, як би пародаксально етио не звучало, завжди відчувалося його жагуче й зворушливе прагнення до істини”

Гімназія, що вибрали для Давила його батьки, уважалася кращої в Кенігсберзі – стародавня приватна школа, заснована на початку сімнадцятого сторіччя й, що мала в числі своїх випускників самого Канта. Проте, цей вибір був досить невдалим. У той час у Кенігсберзі було рідкісне зосередження майбутніх наукових талантів. Альштадскую гімназію одночасно відвідували Макс і Вилли Провини, Арнольд Зоммерфельд і Герман Минковский. Однак Давидові, що відвідував Фридрихсколлег, не довелося у свої шкільні роки познайомитися з жодним із цих хлопчиків

До ненсчастию для Гильберта, Фридрихсколлег був дуже традиційним закладом зі строго встановленою навчальною програмою. Слово “гімназія” пояснювалося тим, що така школа була призначена для гімнастики розуму дитини. Із цією метою вивченню латинської й грецької мов віддавалося особливе значення. За традицією після древніх мов математика найбільше цінувався як засіб зміцнення сили розуму. Однак у Фридрихсколлеге її викладання велося на значно гіршому рівні, чим викладання латинського й грецького. Природничі науки взагалі не викладалися

У Давида були дуже погані здатності до завчання напам’ять, а у Фридрихколлеге запам’ятати й вивчити було те саме. Не дуже швидко він засвоював і новий матеріал. Здавалося, він ніколи не міг зрозуміти те, чого попередньо не проробив у власному мозку. Нарешті, він знайшов шкільний предмет, що відповідав його похилостям і доставляла йому нескінченне задоволення. Пізніше він згадував, що вперше відчув тягу до математики, тому, що вона була легкої, що не вимагала зусиль

У вересні 1879 року, на початку останнього навчального року в гімназії Давид перейшов із Фридрихсколлега у Вільгельм-Гімназію. Це була державна школа, у якій приділялася значно більша увага математиці, навіть зачіпалися деякі нові досягнення в геометрії. У тій же гімназії вчився юний вундеркінд і майбутній великий друг Гильберта – Герман Минковский

Навчання в університеті

Восени 1880 року Гильберт надійшов в університет. Великою удачею для нього було те, що університет його рідного міста, хоча й віддалений від основного центра подій у Берліні, по своїх наукових традиціях був одним з найвидатніших у Німеччині. Якоби викладав у Кенігсберзі тоді, коли в часи Гаусса він уважався другим математиком у Європі. Його приймачу Ришело належить заслуга відкриття генія Вейерштрасса в роботах невідомого вчителя гімназії. Різнобічний Франц Нейман організував у Кенігсберзі перший інститут теоретичної фізики при германському університеті й увів семінарську форму занять

Гильберт відчув себе в університеті настільки ж вільним, наскільки стиснутим він почував себе в гімназії. Викладачі факультету самі вибирали предмети, яким вони хотіли вчити, а студенти вибирали ті предмети, які вони хотіли вивчати. Не було ніяких особливих вимог, мінімальних кількостей балів, перекликів, ніяких іспитів доти, поки не наступала настав час одержувати ступінь. Природно, що на таку несподівану волю багато хто реагували тим, що проводили перші університетські роки в традиційних заняттях – пиятиках і дуелях. Однак для 18-літнього Гильберта університет представляв щось більше привабливе – довгоочікувану волю сконцентруватися на математику. Ніяких сумнівів із приводу своїх майбутніх занять у Гильберта не було. Всупереч бажанням батька він записався не на юридичний, а на математичний курс

Під час свого першого семестру в університеті Гильберт слухав лекції по інтегральному вирахуванню, теорії визначників і кривизні поверхонь. У другому семестрі, дотримуючись популярного звичаю мандрувати по університетах, він відправляється в Гельдельберг. У Гельдельберге Гильберт відвідував лекції Лазаруса Фуксу, ім’я якого стало синонімом теорії лінійних диференціальних рівнянь. Його лекції були дуже вражаючими, однак з досить незвичайної сторони. Рідко готовившись до лекцій, він, як правило, імпровізував на місці. Завдяки цьому його студенти мали можливість спостерігати в дії мислення математика найвищого рівня. У наступному семестрі Гильберт міг би переїхати в Берлін, де перебувало сузір’я таких учених, як Вейерштрасс, Куммер, Кронекер і Гельмогольц. Однак будучи, подібно батькові, глибоко прив’язаним до міста свого дитинства, воно повернувся в Кенигсбергский університет

У цей час у Кенігсберзі був тільки один повний професор математики. Це був Генріх Вебер, винятково обдарований і багатогранна людина. Йому належать значні внески в настільки різні області як теорія чисел і математична фізика. У Вебера Гильберт слухав лекції по теорії чисел і теорії функцій і вперше познайомився з теорією інваріантів, самої модної математичної теорії того часу. У наступному семестрі – навесні 1882 року – Гильберт знову вирішив залишитися в рідному університеті

Закінчивши восьмисеместровий університетський курс, необхідний для одержання докторського ступеня, Гильберт почав обмірковувати можливі теми для дисертації. У ній він повинен був одержати які-небудь оригінальні результати в математику. Спочатку він мав намір зайнятися дослідженням одного узагальнення безперервних дробів. Із цим він підійшов до Линдеману, що били його науковим керівником. Линдеман повідомив, що, на жаль, таке узагальнення вже було зроблено Якоби й порекомендував замість цього взяти завдання з теорії алгебраїчних інваріантів. Проблема, що Линдеман запропонував Гильберту для дисертації, торкалася питання про властивості інваріантів деяких алгебраїчних форм. Вона була досить важкої для докторської дисертації, однак не настільки, щоб не можна було очікувати її рішення. Виявивши оригінальність, Гильберт вирішив її способом, відмінним від того, котрий, по загальній думці, міг привести до успіху. Це була дуже гарна робота. Линдемант був удоволений

Цим Гильберт вступив на перший щабель академічної кар’єри. Якби його кар’єра зложилася вдало, він зміг би домогтися кінцевої мети – стати повним професором. Будучи ж просто доктором філософії, він не мав права навіть читати лекції студентам. Для цього йому потрібно було виконати ще одне оригінальне математичне дослідження й представити його в якості хабилитации. У випадку його схвалення факультетом, йому було б присуджене звання приват-доцента й право без оплати читати лекції під поручництвом університету. Будучи таким доцентом, він повинен був існувати на засоби, одержувані з оплати за навчання від студентів, що виявили бажання слухати його лекції. Тому що курси, відвідувані всіма студентами, такі, як, наприклад, аналіз, читалися членами факультету, йому в найкращому разі довелося б вести клас із п’яти або шести студентів. У цьому випадку йому довелося б випробувати більші труднощі. Як порятунок від превратностей такої кар’єри молодий доктор міг здавати державний іспит, що дає право стать учителем гімназії. Урахувавши це, Гильберт почав готуватися до державного іспиту, що здав у травні 1885 року

Перші наукові кроки

Незабаром після здачі іспиту Гильберт відправляється у свою першу наукову подорож у Лейпциг до Фелікса Клейну. Гильберт відвідує лекції Клейна й брав участь у його семінарі. Особистість Клейна не могла не зробити на нього враження. Це була гарна людина з темними волоссями й чорною бородою, зі світними очами. Його лекції по математиці шанувалися всіма й поширилися навіть в Америці. Що стосується реакції Клейна на молодого доктора з Кенігсберга, то він дбайливо зберігав його доповідь, з яким Гильберт виступав на семінарі, і пізніше писав: “Коли я почув його доповідь, я відразу ж зрозумів, що в цієї людини велике майбутнє в математику” . У Лейбциге Гильберт незабаром познайомився з рядом інших математиків. Одним з них був Георг Пік, а іншим Едуард Штуди, основним інтересом якого, як і в Гильберта, була теорія інваріантів

У Лейпцизі було значно більше людей, що цікавляться теорією інваріантів; однак Клейн направив всі свої зусилля, щоб умовити Штуди й Гильберта їхати на південь в ерланген відвідати свого друга Пауля Гордона, що у той час був відомий як “король інваріантів”

Улітку 1886 року Гильберт робить поїздку в Париж, де знайомиться з великими французькими математиками: Пуанкаре, Жорданом, ермитом і іншими. Вертаючись назад Гильберт уперше відвідує Геттингем – маленьке затишне містечко, у якому розуму буде призначено жити й працювати більшу частину свого життя. Повернувшись у Кенігсберг, він серйозно зайнявся хабилитацией. Робота, що він готовив, була також присвячена теорії інваріантів, однак ставила перед собою більше серйозні цілі, чим звичайні докторські дисертації. Крім своєї роботи, здобувач хабилитации повинен був також прочитати лекцію на одну з обраних їм тим, що була схвалена факультетом. Гильберт запропонував дві теми: “Самі загальні періодичні функції” і “Поняття групи” . Факультет вибрав першу з них, що більше влаштовувало й Гильберта. Цією лекцією залишилися задоволені все; також успішно пройшов і усний іспит. 8 липня 1886 року Гильберт одержав хабилитацию

Гильберт вирішив, що, ставши доцентом, він буде читати лекції на різні теми, не повторюючись, як це робили багато інші, і тим самим буде утворювати не тільки своїх студентів, але й себе самого. У першому семестрі Гильберт підготував лекції по теорії інваріантів, визначникам і гідродинаміці

Знову повернутися до математики Гильберта змусив глибоку кризу, що виникла в її підставах. Улюблений Гильбертом аксіоматичний підхід почав давати збої. Першими провісниками такої кризи були парадокси, відкриті в теорії множин. Ці парадокси були настільки глибокими й затрагивавшими сама суть теорії, що серед математиків найшлися ті, які пропонували взагалі відмовитися від колишнього образа математичного мислення. Серед таких був молодий голландець Брауер. У трьох статтях, що разом не займали 17 сторінок, Брауер висловив сумнів у тім, що закони класичної логіки мають абсолютну істинність, що не залежить від того, до чого вони застосовуються, і запропонував рішучу програму, покликану покінчити з “кризою підстав” . Для Брауера ні мова, ні логіка не були невід’ємні пов’язані з математикою, у підставі якої, на його думку, лежала інтуїція, що робила її висновки й поняття безпосередньо ясними. Брауер, наприклад, відмовився приймати логічний принцип виключення третього, тобто Що для будь-якого твердження A існує тільки дві можливості – або A, або не A. Зокрема Брауер не приймав принцип виключення третього для нескінченних безлічей, оскільки не існує ніякої реальної процедури, щоб перевірити твердження за кінцеве число кроків. Підхід Брауера до принципів математики одержав назву интуиционизм. Для Гильберта програма интуиционизма представляла абсолютно певну й реальну погрозу математиці. Багато хто з теорем класичної математики можна було встановити й интуиционистскими методами, більше складним і довгим шляхом, чим звичайно. Від багато чого ж, включаючи теореми існування, основну частину аналізу, канторовскую теорію нескінченних безлічей, довелося б відмовитися

Гильберт відмовлявся прийняти таке “каліцтво” математиці. Йому здавалося, що він бачив шлях, на якому він зміг би відновити елементарну математичну об’єктивність, до якої прагнув Брауер, не втрачаючи при цьому більшу частину самої математики. Це була, по суті, “теорія доказу” . Гильберт запропонував перетворити математикові у формализированную систему, об’єкти якої – математичні теореми і їхні докази – виражаються мовою символічної логіки у вигляді речень, що мають тільки символічну а не значеннєву структуру. Ці об’єкти повинні бути обрані так, щоб адекватно представляти дану математичну теорію, тобто охоплювати сукупність всіх її теорем. Несуперечність цієї формальної системи – тобто математики – буде доводитися за допомогою методів, які Гильберт назвав фінітними. Під “финитностью” розумілося те, що “розглянуті міркування, твердження або визначення повинні перебувати в рамках безпосереднього спілкування з об’єктом, відрізнятися явною практичністю використовуваних методів і, відповідно до цим, їх можна було б ефективно контролювати” . У такий спосіб можна було б перебороти кризу підстав математики й позбутися від нього раз і назавжди

На жаль, планам Гильберта не призначено було збутися. В 1930 році Курт Гедель, 25-літній фахівець із математичної логіки, опублікував статтю, у якій був зроблений висновок, нанесший смертельний удар за планами Гильберта. У своїй статті Геделю вдалося довести – з усією строгістю, на яку здатна математика, – неповноту формалізованої теорії чисел. Він також довів теорему, з якої треба, що не існує фінітного доказу несуперечності формальної системи, досить повної, щоб формалізувати всі фінітні міркування. Проте, підхід Гильберта значно збагатив і підняв на зовсім інший рівень всю математичну логіку

Давид Гильберт умер 14 лютого 1943 року у віці 81 року. З його смертю математика втратила одного зі своїх великих майстрів. Роботи Гильберта чимало послужили тої щасливої гармонії, у якій розвивається математика донині

Список літератури:

1. Констанс Рид “Гильберт” ; Москва, “Наука” 1977

2. Рибників К. А. “Історія математики” ; видавництво Московського університету 1994

3. Д. Я. Строик “Короткий нарис історії математики” ; Москва, “Наука” 1969

4. М. Клайн “Математика. Втрата визначеності” ; Москва “Мир” 1984

(function(){