БЕЗЛІЧІ ІЗ ДВОМА АЛГЕБРАЇЧНИМИ ОПЕРАЦІЯМИ КІЛЬЦЯ Й ПОЛЯ

Припустимо, що існує безліч R , на якому розташовані дві алгебраїчні операції додавання й множення. Прийнято вважати, що множення має властивість правої дистрибутивности стосовно додавання: И відповідно додавання має властивість лівої дистрибутивности стосовно множенні. У випадку якщо операція множення коммутативна, тоді дані властивості рівнозначні. Застосовуючи властивості дистрибутивности, маємо на увазі двосторонню дистрибутивность. Допустимо, операція додавання на безлічі R має нейтральний елемент, тобто 0.

Дорівнявши в и z до нуля, одержимо: x0 = x0 + x0, володіючи властивістю скорочення для операції додавання, одержуємо, що x0 = 0

У випадку наявності в елемента y протилежний елемент, тобто негативний, дорівнявши z до (- y ), одержимо: 0 = x0 = x y + x(- y ) звідси треба, x(- y ) = – x y

Полем називається таке асоціативне комутативне кільце з одиницею k , у якому всякий ненульовий елемент оборотний:

Таким чином, по визначенню в поле відсутні дільники нуля

Кільцем називається безліч із двома алгебраїчними операціями R (+,*), якщо:

1.0

Оборотними називають ті елементи кільця R, які мають зворотні щодо операції множення, безліч R у цьому випадку позначається через

Безліч є групою по множенню, називаною мультиплікативною групою кільця R для асоціативного кільця сединицей.

2.Множення в R дистрибутивно щодо додавання

Асоціативне кільце – це кільце, у якому операція множення має властивість ассоциативности

Кільце з одиницею – наявність нейтрального елемента для операції множення

3. ( R ,+) – абелева група (аддитивная група кільця R )

Приведемо деякі приклади кілець і полів

Допустимо R будь-яке асоціативне комутативне кільце й x – деякий символ. Формальна сума виду p = , де називається багаточленом над кільцем R .

Нульовий багаточлен не має ступеня. Багаточлени над R можна складати й перемножувати за звичайними правилами й вони утворять кільце R [ x ].Якщо кільце R має одиницю е, то багаточлен нульового ступеня p = e буде одиницею кільця R [ x ]. Якщо , то число n називається ступенем цього багаточлена й позначається deg ( p )

Якщо R не має дільників нуля, то deg ( pq )= deg ( p )+ deg ( q ) і тому R [ x ] також не має дільників нуля. У той же час оборотними елементами кільця багаточленів будуть у точності оборотні елементи R , розглянуті як багаточлени нульового ступеня

Дана конструкція дозволяє розглядати й багаточлени від декількох змінних: по визначенню, R [ x , y ] = R [ x ][ y ] (= R [ y ][ x ])

Аддитивная група цього кільця – добре відома нам нескінченна циклічна група. Мультиплікативна група містить усього 2 елементи 1 і -1 і тому ізоморфно . Безліч Z цілих чисел з операціями додавання й множення дає важливий приклад асоціативного комутативного кільця з одиницею. Елементи, що не входять у необоротні, хоча й не є дільниками нуля

Розглянемо поля R , Q , і C відповідно речовинних, раціональних і комплексних чисел. Побудоване поле із двох елементів позначається G*В = 0, де А є дільником нуля, у тому випадку якщо В – ненульова матриця

Подкольцо кільця з одиницею може не мати одиниці. Наприклад, подкольцо парних чисел 2 Z Z не має одиниці. Більше того, може трапитися, що й R і K мають одиниці, але вони не рівні один одному

Наприклад, для подкольца , що складається з матриць із нульовим останнім рядком і останнім стовпцем; = diag (1,1,…,1,0) = diag (1,1,…,1)

Допустимо – деяке подкольцо. ДО,+ – підгрупа комутативної групи R ,+, можна утворити факторгруппу R / K , елементами якої є суміжні класи r + K

Оскільки ДО*ДО ДО, для добутку двох суміжних класів має місце включення: ( r + K )*( s + K ) r s + r K + K s + K

Подкольцо До називається ідеалом кільця R , якщо : x K K і K y K

Ми бачимо, що якщо До є ідеалом в R , добуток суміжних класів ( r + K )*( s + K ) утримується в суміжному класі r s + K . Значить у факторгруппе R / K визначена операція множення, що перетворює її в кільце, називане факторкольцом кільця R по ідеалі ДО

Подкольцом є підмножина , якщо воно є кільцем щодо тих же операцій, які визначені в R

Відповідно до даної інтерпретації До є підгрупою аддитивной групи R і замкнуто щодо множення:

До буде мати властивості ассоциативности , коммутативности або відсутністю дільників нуля, якщо R має такі властивості

Відображення, що зберігає обидві кільцеві операції: і називається Гомоморфізмом кілець

Нехай – сюръективний гомоморфізм кілець. Тоді S ізоморфно факторкольцу R / Ker . Якщо ці ізоморфні кільця ототожнити, то ототожнюється із природним гомоморфізмом кільця R на своє факторкольцо

Ядро групового гомоморфізму аддитивних груп називається ядром гомоморфізму

Ядро гомоморфізму кілець є ідеалом

Нехай – гомоморфізм кілець, I = Ker , – будь-який елемент. Тоді, ( x I ) = ( x )* ( I ) = ( x )*0 =0. Виходить, x I Ker = I . Аналогічно перевіряється, що I x I

Взаємно однозначний гомоморфізм є ізоморфізмом

При відсутність в R дільників нуля ще не гарантує їхня відсутність у факторкольце. Такі властивості як, ассоциативность, коммутативность і наявність одиниці зберігаються при переході до факторкольцу

Приведемо приклади

Усякий ненульовий ідеал I в S збігається з усім полем, якщо кільце S є полем, те. Справді, якщо , x 0, то для всякого маємо: , звідки

Якщо будь-який його елемент, то безліч I = x S є ідеалом кільця S , називаним головним ідеалом з утворюючим елементом x . Цей ідеал позначається ( x ). Якщо S кільце з одиницею й елемент x оборотний, то ( x )= S

Факторкольцо Z / n – це безліч відрахувань по модулі n з операціями додавання й множення. Ідеалом кільця Z є подкольцо n , тому що для будь-якого цілого m m ( n ) n . Якщо число n не є простим, то Z / n має дільники нуля

Допустимо, що I ідеал кільця R . Тоді співвідносячись кожному елементу суміжний клас r + I , одержуємо сюръективний гомоморфізм , що називається природним гомоморфізмом кільця на факторкольцо

Припустимо, що I R [ x ] є безліч всіх багаточленів , у яких =0. Тоді I = x [ x ]. Тому що p I =( p x ) R [ x ] I , значить одержуємо ідеал кільця багаточленів. Кожний суміжний клас q + I містить елемент . Тому, ( q + I )*( s + I ) = ( + I )*( + I ) = + I