Припустимо, що існує безліч R , на якому розташовані дві алгебраїчні операції додавання й множення. Прийнято вважати, що множення має властивість правої дистрибутивности стосовно додавання: И відповідно додавання має властивість лівої дистрибутивности стосовно множенні. У випадку якщо операція множення коммутативна, тоді дані властивості рівнозначні. Застосовуючи властивості дистрибутивности, маємо на увазі двосторонню дистрибутивность. Допустимо, операція додавання на безлічі R має нейтральний елемент, тобто 0.
Дорівнявши в и z до нуля, одержимо: x0 = x0 + x0, володіючи властивістю скорочення для операції додавання, одержуємо, що x0 = 0
У випадку наявності в елемента y протилежний елемент, тобто негативний, дорівнявши z до (- y ), одержимо: 0 = x0 = x y + x(- y ) звідси треба, x(- y ) = — x y
Полем називається таке асоціативне комутативне кільце з одиницею k , у якому всякий ненульовий елемент оборотний:
Таким чином, по визначенню в поле відсутні дільники нуля
Кільцем називається безліч із двома алгебраїчними операціями R (+,*), якщо:
1.0
Оборотними називають ті елементи кільця R, які мають зворотні щодо операції множення, безліч R у цьому випадку позначається через
Безліч є групою по множенню, називаною мультиплікативною групою кільця R для асоціативного кільця сединицей.
2.Множення в R дистрибутивно щодо додавання
Асоціативне кільце — це кільце, у якому операція множення має властивість ассоциативности
Кільце з одиницею — наявність нейтрального елемента для операції множення
3. ( R ,+) — абелева група (аддитивная група кільця R )
Приведемо деякі приклади кілець і полів
Допустимо R будь-яке асоціативне комутативне кільце й x — деякий символ. Формальна сума виду p = , де називається багаточленом над кільцем R .
Нульовий багаточлен не має ступеня. Багаточлени над R можна складати й перемножувати за звичайними правилами й вони утворять кільце R [ x ].Якщо кільце R має одиницю е, то багаточлен нульового ступеня p = e буде одиницею кільця R [ x ]. Якщо , то число n називається ступенем цього багаточлена й позначається deg ( p )
Якщо R не має дільників нуля, то deg ( pq )= deg ( p )+ deg ( q ) і тому R [ x ] також не має дільників нуля. У той же час оборотними елементами кільця багаточленів будуть у точності оборотні елементи R , розглянуті як багаточлени нульового ступеня
Дана конструкція дозволяє розглядати й багаточлени від декількох змінних: по визначенню, R [ x , y ] = R [ x ][ y ] (= R [ y ][ x ])
Аддитивная група цього кільця — добре відома нам нескінченна циклічна група. Мультиплікативна група містить усього 2 елементи 1 і -1 і тому ізоморфно . Безліч Z цілих чисел з операціями додавання й множення дає важливий приклад асоціативного комутативного кільця з одиницею. Елементи, що не входять у необоротні, хоча й не є дільниками нуля
Розглянемо поля R , Q , і C відповідно речовинних, раціональних і комплексних чисел. Побудоване поле із двох елементів позначається G*В = 0, де А є дільником нуля, у тому випадку якщо В — ненульова матриця
Подкольцо кільця з одиницею може не мати одиниці. Наприклад, подкольцо парних чисел 2 Z Z не має одиниці. Більше того, може трапитися, що й R і K мають одиниці, але вони не рівні один одному
Наприклад, для подкольца , що складається з матриць із нульовим останнім рядком і останнім стовпцем; = diag (1,1,…,1,0) = diag (1,1,…,1)
Допустимо — деяке подкольцо. ДО,+ — підгрупа комутативної групи R ,+, можна утворити факторгруппу R / K , елементами якої є суміжні класи r + K
Оскільки ДО*ДО ДО, для добутку двох суміжних класів має місце включення: ( r + K )*( s + K ) r s + r K + K s + K
Подкольцо До називається ідеалом кільця R , якщо : x K K і K y K
Ми бачимо, що якщо До є ідеалом в R , добуток суміжних класів ( r + K )*( s + K ) утримується в суміжному класі r s + K . Значить у факторгруппе R / K визначена операція множення, що перетворює її в кільце, називане факторкольцом кільця R по ідеалі ДО
Подкольцом є підмножина , якщо воно є кільцем щодо тих же операцій, які визначені в R
Відповідно до даної інтерпретації До є підгрупою аддитивной групи R і замкнуто щодо множення:
До буде мати властивості ассоциативности , коммутативности або відсутністю дільників нуля, якщо R має такі властивості
Відображення, що зберігає обидві кільцеві операції: і називається Гомоморфізмом кілець
Нехай — сюръективний гомоморфізм кілець. Тоді S ізоморфно факторкольцу R / Ker . Якщо ці ізоморфні кільця ототожнити, то ототожнюється із природним гомоморфізмом кільця R на своє факторкольцо
Ядро групового гомоморфізму аддитивних груп називається ядром гомоморфізму
Ядро гомоморфізму кілець є ідеалом
Нехай — гомоморфізм кілець, I = Ker , — будь-який елемент. Тоді, ( x I ) = ( x )* ( I ) = ( x )*0 =0. Виходить, x I Ker = I . Аналогічно перевіряється, що I x I
Взаємно однозначний гомоморфізм є ізоморфізмом
При відсутність в R дільників нуля ще не гарантує їхня відсутність у факторкольце. Такі властивості як, ассоциативность, коммутативность і наявність одиниці зберігаються при переході до факторкольцу
Приведемо приклади
Усякий ненульовий ідеал I в S збігається з усім полем, якщо кільце S є полем, те. Справді, якщо , x 0, то для всякого маємо: , звідки
Якщо будь-який його елемент, то безліч I = x S є ідеалом кільця S , називаним головним ідеалом з утворюючим елементом x . Цей ідеал позначається ( x ). Якщо S кільце з одиницею й елемент x оборотний, то ( x )= S
Факторкольцо Z / n — це безліч відрахувань по модулі n з операціями додавання й множення. Ідеалом кільця Z є подкольцо n , тому що для будь-якого цілого m m ( n ) n . Якщо число n не є простим, то Z / n має дільники нуля
Допустимо, що I ідеал кільця R . Тоді співвідносячись кожному елементу суміжний клас r + I , одержуємо сюръективний гомоморфізм , що називається природним гомоморфізмом кільця на факторкольцо
Припустимо, що I R [ x ] є безліч всіх багаточленів , у яких =0. Тоді I = x [ x ]. Тому що p I =( p x ) R [ x ] I , значить одержуємо ідеал кільця багаточленів. Кожний суміжний клас q + I містить елемент . Тому, ( q + I )*( s + I ) = ( + I )*( + I ) = + I