23 математичні проблеми

На початку 1888 року Гильберт уживає ще одна математична подорож, його маршрут включає відвідування 21 видного математика. Оскільки в той час основною спеціальністю Глиберта була теорія інваріантів, те першою справою він направляється в ерланген, щоб зустріти зі знаменитим “королем інваріантів“- Паулем Горданом

Пауль Гордан яскраво виділявся своєю особистістю серед математиків того часу. Будучи на двадцять років старше Гильберта, він досить пізно зайнявся наукою. Великою удачею для Гордона було те, що час його перших занять теорією інваріантів збіглося з початком нового етапу в ній. Перші роки її розвитку були присвячені дослідженню загальних законів, яким підкоряються інваріанти; на наступному етапі почалася методична побудова й класифікація інваріантів, що й послужило їжею для Гордана. На початку своєї кар’єри він зробив перший прорив у знаменитій проблемі інваріантів. За це йому й привласнили титул короля інваріантів. Загальна проблема, усе ще не вирішена й ставшая самої знаменитої в цій теорії, була названа в його честь «Проблемою Гордана»

«Проблемою Гордана» була зовсім не схожа на завдання типу “знайти x” , з яких починалася алгебра багато століть назад. Це була абстрактна, чисто математична проблема, викликана не навколишньому нас фізичним миром, а розвитком самої математики. До цього часу стала відома внутрішня структура всіх інваріантних форм. Існував метод, що дозволяв, принаймні в принципі, виписати всі різні інваріантні форми заданого ступеня від заданого числа невідомих. Нова проблема мала зовсім інший характер, тому що ставилася до безлічі всіх інваріантів. Чи існує базис, тобто кінцева система інваріантів, через які раціонально або поліномінально виражається будь-який інший з нескінченного числа інваріантів

Видатним досягненням Гордана з’явився його доказ, рівно за 20 років до зустрічі з Гильбертом, існування кінцевого базису для бінарних форм, найпростіших із всіх алгебраїчних форм. Характерно, що воно було засновано на обчисленнях і використовувало структуру деяких елементарних операцій, за допомогою яких виходили інваріанти. У подальші 20 років, незважаючи на зусилля багатьох видних математиків, проблема не зрушилася з мертвої крапки

Гильберт уже був якийсь час знаком із проблемою Гордана; однак тепер, слухаючи самого Гордана, йому здавалося, що він відчув її набагато глибше, ніж раніше. Проблема зайняла його уяву майже з надприродною силою

Тут було наявною проблема, що володіє всіма рисами великої глибокої проблеми, до яких Гильберт зараховував наступні: Ясна й розумі_ легко («тому що, у той час як ясне й простої залучає, складне відштовхує» )

Важка («щоб нас залучати» ) і в той же час не повністю недоступна («щоб не зробити безнадійними нашого зусилля» )

Важлива («дороговказна зірка на звивистих тропах до прихованих істин» )

Думки про цю проблему не залишали Гильберта під час усього його математичної подорожі. Удома, у Кенігсберзі, ці думки не залишали його ні під час роботи, ні на відпочинку, ні навіть на танцях, які він так любив відвідувати. 6 вересня 1888 року Гильберт послав коротку замітку в журнал Геттингенского наукового суспільства. У цій замітці він дав начерк зовсім несподіваного й оригінального способу доказу теореми Гордана, придатного одночасно для форм від будь-якого числа невідомих. Ця робота була першим прикладом риси, характерної для мислення Гильберта, – “природна наївність думки, що не спочиває на авторитеті або попередньому досвіді” , як виразився пізніше один з його учнів. Незабаром після опублікування повного доказу теореми знаменитий «король інваріантів» Гордан здивований викликнув: “Це не математика. Це теологія”

Рішення Гильберта не було конструктивним, воно лише доводило існування базису, але не давало явної конструкції для його побудови. У наступні два роки Гильберт не залишає проблему Гордана, намагаючись дати їй конструктивний доказ. Нарешті в 1892 році йому вдалося запропонувати метод, що дозволяє, по суті, за кінцеве число кроків одержати шукану конструкцію

Хоча Гильберт не був першим, хто використовував непрямі, не конструктивні докази, він був першим, хто усвідомив їхнє глибоке значення й силу, а також зміг скористатися ними в драматичні й надзвичайно гарних ситуаціях

При рішенні проблеми Гордана Гильберт знайшов себе й свій метод атаки знаменитої проблеми, рішення якої за своїм значенням набагато перевершувало саму проблему. Уперше трапилося щось доконане несподіване. Спочатку проблема була вирішена, а її рішення повністю звільнило його від її

У висновку своєї роботи з теорії інваріантів він писав: “Тим самим мені здається що найважливіші цілі теорії функціональних полів інваріантів досягнуті” . Поле цього Гильберг залишає теорію інваріантів

Теорія чисел

У наступні три роки Гильберт підвищувався в академічних рангах і робив те, що робить у цей період часу більшість молодих людей, – женився, став батьком, одержав важливе призначення. Поряд зі змінами в особистому житті й суспільному становищі, Гильберт почав проявляти й новий математичний інтерес. “Відтепер я цілком присвячу себе теорії чисел” , – писав він своєму другові Минковскому незабаром після закінчення останньої роботи про інваріанти. Тепер він зайнявся цією новою областю

Добре відомо, що Гаусс уважав теорію чисел вершиною науки. Він відгукнувся про неї як про “невичерпне джерело нових істин” . Гильберт ставився до теорії чисел як до “будинку рідкої краси й гармонії” . Як і Гаусса, його залучала краса її фундаментальних законів, мала кількість визначень і чистота її істин; обоє вони рівною мірою були піднесені розходженням між очевидністю формулювань і “дивовижною” труднощами їхніх доказів

У наступні роки Гильберт інтенсивно займається теорією чисел. Роблячи перші кроки йому вдалося знайти надзвичайно легкі й прості докази трансцендентності чисел e і pi, а також теорем про розкладання алгебраїчних чисел на прості ідеали. У той час германське математичне суспільство щорічно публікувало великі огляди в різних областях математики. Черговий огляд по теорії чисел було вирішено доручити підготувати Гильберту й Минковскому. Гильберт із ретельністю приймається за нову й цікаву для нього роботу. Хоча дотепер він не харчував схильності до вивчення теорії по книгах, тепер він прочитав все видане по теорії чисел із часів Гаусса. Доказу всіх відомих теорем треба було обміркувати. Потім йому випливало відібрати з них ті, “ідеї яких піддаються узагальненню й найбільш перспективні для подальших досліджень” . Однак для цього необхідно було провести ці “подальші дослідження” . Крім того, потрібно було усувати ті труднощі стилю й мислення попередніх дослідників, які ставили перешкоду для загального розуміння й визнання їхніх робіт. На проведення всіх цих великих робіт Гильберту знадобилося три роки (Минковский незабаром вибув з участі в цьому проекті) . Монументальний огляд Гильберта з’явився в 1896 році. Представлений Гильбертом праця в нескінченне число раз перевершував все те, на що могло розраховувати Суспільство. Насправді його огляд являє собою перлину літератури. Заповнивши пробіли більшою кількістю своїх власних досліджень, Гильберт додав цієї теорії величну уніфіковану форму

В 1895 році за запрошенням Клейна Гильберт приїжджає працювати в Геттингенский університет. Велика наукова традиція Геттінгена йде від Карла Фрідріха Гаусса, що все своє життя провів у цьому місті, залишивши свій слід у всіх областях чистої й прикладної математики. Наприкінці життя, зайнявши в історії своєї науки місце поряд з Архімедом і Ньютоном, він завжди згадує свої перші роки в Геттінгені як щасливі роки. Гильберт приїхав у Геттінген через сто років після Гаусса, знаменитий університет одержав ще одного великого математика, що продовжив традицію

За вісім з половиною років у Кенігсберзі Гильберт не повторив не одного предмета, “за одним невеликим виключенням” – одногодинного курсу по визначниках. Тепер у Геттінгені йому було легко вибирати теми своїх лекцій, погоджені з побажаннями Клейна. У першому семестрі він читав курси по теорії визначників і еліптичних функцій, а також разом із Клейном щоранку по середовищах вів семінар по дійсних функціях

Закінчивши свій огляд Гильберт зайнявся давно задуманими власними дослідженнями. Головним його інтересом було узагальнення закону взаємності на поля алгебраїчних чисел. У класичній теорії чисел квадратичний закон взаємності, відомий ще Лежандру, був знову відкритий і вперше строго доведений Гауссом, коли йому було 18 років. Гаусс все життя вважав його перлиною теорії чисел, і вертався до нього багато разів, давши йому п’ять різних доказів. Цей закон описує чудові співвідношення між парою простих чисел і залишками від розподілу квадратів цілих чисел на них

Вивчаючи класичний закон взаємності Гаусса, Гильберту вдалося переформулювати його в простій і гарній формі, що мала сенс і для полів алгебраїчних чисел. Це дозволило йому з надзвичайною ясністю вгадати формулювання закону взаємності для ступенів, більших 2, хоча він і не зміг довести його у всіх випадках. Вінцем його роботи в цій області була стаття” Про теорію відносно абелевих полів” . У цій роботі, по суті програмної за своїм характером, він дав начерк великої теорії, що одержала популярність як теорія полів класів, і розвив методи й поняття, необхідні для подальших досліджень. Майбутнім математикам це здавалося “божественним одкровенням” – ніде в інших його роботах не була так явно продемонстрована його математична інтуїція. У відмінності від роботи з теорії інваріантів, що поклав кінець розвитку теорії, роботі з полів алгебраїчних чисел було призначено стать початком досліджень. Сам Гильберт зненацька перейшов в іншу область

Підстави геометрії

Новим захопленням Гильберта стала геометрія. Почавши читати курс лекцій по геометрії Гильберт запропонував покласти в підстави геометрії простий і повний список незалежних аксіом, що дозволяє довести давно відомі теореми класичної геометрії Евклида. Його підхід – оригінальне сполучення абстрактної точки зору й конкретної традиційної мови – був особливо ефективним. Вибравши систему аксіом евклідової геометрії, деяким отличавшуюся по дусі від аксіом самого Евклида, Гильберт зміг менш формально й з більшою переконливістю і ясністю, чим Пеано або Паш, продемонструвати істота аксіоматичного методу

Одна справа – побудувати геометрію на міцній підставі, і зовсім інше – досліджувати логічну структуру побудованого спорудження. Гильберт систематично вивчає взаємну незалежність своїх аксіом і встановлює незалежність деяких із самих фундаментальних геометричних теорем від тої або іншої обмеженої групи аксіом. Його метод заснований на побудові моделей: показується, що модель суперечить однієї з аксіом і задовольняє вимогам всіх інших аксіом, із чого треба, що перша не може бути наслідком інших. Питання про несуперечність тісно пов’язаний з питанням про незалежність. Стосовні сюди загальні ідеї здаються нам тепер майже банальними, настільки радикальним виявився їхній вплив на наше математичне мислення. В 1899 році публікується класична книга Гильберта – “Підстави геометрії” , у якій він систематично викладає всі отримані їм результати

Принцип Дирихле

Улітку 1899 року, відразу після видання Підстав геометрії, Гильберт звернувся до однієї старої знаменитої проблеми, відомої як принцип Дирихле. Суть цієї проблеми становили одні логічні труднощі, на яку стали звертати увагу тільки із часів Вейерштрасса. Гаусс, Дирихле, Риман і інші припускали, що завжди існує рішення так званого крайового завдання для рівняння Лапласа. Це припущення було засновано на фізичній інтуїції, що дозволяє завжди вважати, що у відповідній реальній ситуації, описуваною цим крайовим завданням, повинен бути певний фізичний результат, а значить і рішення. Крім того, із чисто математичної сторони Гаусс помітив, що крайове завдання для цього ж рівняння може бути зведена до завдання мінімізації деякого подвійного інтеграла від функцій з безперервними частками похідними, що мають задані граничні значення. У силу позитивності цього подвійного інтеграла, мабуть, повинна була існувати найбільша нижня грань для його значень, із чого він робив висновок, що для однієї з розглянутих функцій цей інтеграл приймав значення цієї грані. Міркування такого роду стало відомо за назвою принципу Дирихле. Однак пізніше Вейерштрасс покритикував принцип Дирихле. Як указував Вейерштрасс, припущення про те, що серед припустимих функцій повинна існувати та, на якій інтеграл приймає найменше значення, не є обґрунтованим з математичної точки зору. Більше того Вейерштрасс побудував приклад, у якому не можна було знайти функції, минимизирующей інтеграл, при заданих граничних значеннях. Це могло б означати кінець принципу Дирихле, але цього не трапилося. На той час, коли Гильберт звернувся до принципу Дирихле, математики втратили всяку надію на його порятунок. У вересні 1899 року Гильберт зміг пред’явити Германському математичному суспільству першу спробу того, що він назвав «відродженням принципу Дирихле» . Основна ідея Гильберта полягала в тім, що при більше сильних обмеженнях на функції, що брали участь у завданні, можна домогтися того, що принцип Дирихле буде виконуватися

Саме в період цієї надзвичайно різноманітної діяльності до Гильберту прибуло речення виступити з одним з основних доповідей на другому міжнародному конгресі математиків у Парижу влітку 1900 року. нове сторіччя, Що Відкривається перед ним, вабило, як чистий аркуш паперу. Йому хотілося виголосити промову, що відповідала б важливості цієї події. Гильберт вирішує зробити доповідь про майбутнє математики у двадцятому сторіччі. У своїй знаменитій доповіді Гильберт сформулював 23 окремі проблеми, рішення яких, за його переконанням, зіграють важливу роль у прогресі математики в наступаючому сторіччі. Перші шість проблем ставилися до підстав математики, до того, що, на його думку, з’явилося великим досягненням тільки що що окончились сторіччя: відкриття неевклідової геометрії й прояснення арифметичної природи континуума. У них сильно позначався вплив недавньої роботи з підстав геометрії і його ентузіазм із приводу можливостей аксіоматичного підходу. Інші проблеми були більше спеціальні й індивідуальні, частиною старі й добре відомі, частиною нові, однак всі вони зачіпали минулі, теперішні або майбутні інтереси Гильберта. Доповідь Гильберта повністю захопив уяву всього математичного миру. Його практичний досвід давав підставу сподіватися, що ці проблеми задовольняють сформульованим Гильбертом критеріям великих математичних проблем і що настане час, коли вони будуть повністю вирішені. Його швидко зростаюча слава, що уступала тепер лише славі Пуанкаре, обіцяла загальне визнання будь-якому математикові, що вирішить хоча б одну з паризьких проблем

Інтегральні рівняння

Один раз узимку 1900-1901 року один студент зі Швеції приніс на семінар Гильберта недавно опубліковану роботу з інтегральних рівнянь, що належала його співвітчизникові Ивару Фредгольму

Інтегральні рівняння – це функціональні рівняння спеціального типу, історія яких тісно пов’язана із завданнями математичної фізики, зокрема із проблемою коливання твердого тіла. Теорія таких рівнянь розвивалася дуже повільно. Однак тепер Фредгольм дав гарне й оригінальне рішення одного класу таких рівнянь, що відкривало звабну аналогію між інтегральними рівняннями й алгебраїчними лінійними рівняннями

Інтегральні рівняння повністю захопили Гильберта. Відтепер він говорив зі своїми студентами тільки про інтегральні рівняння. Початок його досліджень нагадувало колишній підхід Гильберта до невирішених завдань. У першій роботі, опублікованої у вигляді повідомлення Геттингенского наукового суспільства, він запропонував один простий і оригінальний варіант теорії Фредгольма, що розкривав її основну ідею більш чітко, ніж робота самого Фредгольма. У ній також можна було знайти натяки на його майбутні свіжі й плідні ідеї. Маючи інтуїтивне розуміння зв’язків, що лежать в основі різних частин математики, а також між математикою й фізикою, Гильберт дійшов висновку, що рівняння Фредгольма зможуть відкрити завісу над цілою серією раніше недоступних проблем аналізу й математичної фізики. Тепер він поставив перед собою ціль об’єднати на однаковій теоретичній основі як можна більше коло питань, пов’язаних з лінійними завданнями аналізу

В 1904 році Гильберт посилає друге повідомлення науковому суспільству, у якому істотно розвив ідею Фредгольма. У своїй класичній роботі Фредгольм відкрив аналогію між інтегральними рівняннями й лінійними алгебраїчними рівняннями. Гильберт пішов тепер далі й знайшов аналог приведення квадратичної форми від n змінних до головних осей. Використовуючи пов’язану із цим комбінацію ідей аналізу, алгебри й геометрії, він розвив свою теорію власних функцій і власних значень – ця теорія, як з’ясувалося пізніше, виявилася тісно пов’язаної з фізичною теорією власних коливань

Гильберт іде далі й працює над тим, чому призначено буде стати вінцем його занять аналізом – теорію нескінченно багатьох змінних, що стала широко відомої як теорія гильбертова простору. Через свою крайню спільність проблема, який він тепер займався, здавалася майже недоступної навіть для Гильберта. Але він сміло прийнявся за неї. У результаті всіх зусиль через кілька років Гильберт представив германському науковому суспільству свою теорію нескінченно багатьох змінних. У ній він послідовно розвиває загальну теорію таких просторів, а також доводить одну із самих великих своїх теорем – спектральну. Ця теорема, подібно теоремі про приведення квадратичної форми до суми квадратів у конечномерних просторах, дозволяє класифікувати так звані самосполучені оператори в бесконечномерних просторах

Фізика

В 1912 році, незважаючи на свій п’ятдесятилітній вік, Гильберт починає займатися зовсім новою для нього наукою – фізикою. Його, як математика, сильно турбувало відсутність порядку в тріумфальних успіхах фізиків. Головною метою Гильберта було поставити на міцну аксіоматичну основу всі досягнення, яких домоглася фізика за останні роки

Гильберт займається фізикою аж до 1922 року. Проте врожай, зібрані їм на цьому полі, навряд чи може зрівнятися з його досягненнями в чистої математики. Різноманіття експериментальних фактів, які доводиться брати до уваги фізикові, є величезним, їхнє збільшення відбувається занадто швидко, а їхнє значення й відносна вага занадто мінливі, щоб аксіоматичний метод зміг знайти тут собі тверду опору, хіба що це можливо в яких-небудь міцно сталих областей фізичної науки. У результаті, великим планам Гильберта в області фізики так і не призначено було свершиться

Однак застосування їм інтегральних рівнянь у кінетичній теорії газів і елементарної теорії випромінювання являє собою значне досягнення. Зокрема, його асимптотическое рішення фундаментального рівняння Масквелла-Больцмана, інтегрального рівняння другого порядку, чітко розділило два шари експериментальних фізичних законів, до яких приводить ця теорія. У своїх дослідженнях із загальної теорії відносності Гильберт з’єднав теорію гравітації ейнштейна, із програмою по єдиній теорії поля Г. Мі. Робота Гильберта може розглядатися як провісник єдиної теорії гравітації й електромагнетизму

(function(){